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수악중독
연립부등식 $\begin{cases} 2x+5 \le 9 \\ |x-3| \le 7 \end{cases}$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $7$
좌표평면 위에 두 원 $C_1 \; : \; (x+6)^2+y^2=4$, $C_2 \; : \; (x-5)^2+(y+3)^2=1$ 과 직선 $l \; : \; y=x-2$ 가 있다. 원 $C_1$ 위의 점 $\rm P$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H_1$, 원 $C_2$ 위의 점 $\rm Q$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H_2$ 라 하자. 선분 $\rm H_1H_2$ 의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, 두 수 $M, \; m$ 의 곱 $Mm$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $23$
그림과 같이 이차함수 $f(x)=-x^2+2kx+k^2+4 \; (k>0)$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm C$ 라 하자. 사각형 $\rm OCBA$ 의 둘레의 길이를 $g(k)$ 라 할 때, 부등식 $ 14 \le g(k) \le 78$ 을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $15$
제1사분면 위의 점 $\rm A$ 와 제3사분면 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 두 점 $\rm A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm A, \; B$ 는 직선 $y=x$ 위에 있다. (나) $\overline{\rm OB}=2\overline{\rm OA}$ 점 $\rm A$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$, 점 $\rm B$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm L$ 이라 하자. 직선 $\rm AL$ 과 직선 $\rm BH$ 가 만나는 점을 $\rm P$, 직선 $\rm OP$ 가 직선 $\rm LH$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 세 점 $=\rm O, \; Q, \; L$ 을 지나는 원의 넓이가 $ \dfrac{81}{2}\pi$ ..
좌표평면 위에 세 점 ${\rm A}(17, \; 0)$, ${\rm B}(5, \; 12)$, ${\rm C}(5, \; 5)$ 가 있다. 점 $\rm C$ 를 중심으로 하고 반지릉의 길이가 $r$ 인 원이 삼각형 $\rm OAB$ 와 서로 다른 세 점에서만 만나도록 하는 모든 $r$ 의 값의 곱을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $35$
$0 \le x \le 5$ 에서 함수 $$f(x)= \log_3 \left ( x^2-6x+k \right ) \; (k>9)$$ 의 최댓값과 최솟값의 합이 $2+ \log_3 4$ 가 되도록 하는 상수 $k$ 의 값은? ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ②
$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $(2n-5)(2n-9)$ 의 $n$ 제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=2}^8 f(n)$ 의 값은? ① $5$ ② $7$ ③ $9$ ④ $11$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ③
수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ 이라 할 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $$a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + n a_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2a_{n+1}-1) \quad \cdots (\bigstar)$$ 이 성립합을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, $$\text{(좌변)}=a_1, \quad \text{(우변)}=a_2 - \boxed{ (가) }=1=a_1$$ $\quad$이므로 $(\bigstar)$ 가 성립한다. (ii) $n=m$ 일 때, $(\bigstar)$ 가 성립한다고 가정하면 $$a_1 +2a_2 + 3a_3 + \cdots + ma_m =..
자연수 $n$ 에 대하여 $ 0 \le x \le 2^{n+1}$ 에서 함수 $y=2 \sin \left ( \dfrac{\pi}{2^n}x \right )$ 의 그래프가 직선 $y=\dfrac{1}{n}$ 과 만나는 모든 점의 $x$ 좌표의 합을 $x_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^6 x_n$ 의 값은? ① $122$ ② $126$ ③ $130$ ④ $134$ ⑤ $138$ 더보기 정답 ②