수악중독

그림과 같이 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm D$, 선분 $\rm BC$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 두 삼각형 $\rm ABC$, $\rm DBE$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm BE}= \overline{\rm DE}$ (나) 두 삼각형 $\rm ABC, \; DBE$ 의 외접원의 넓이의 비는 $85:36$ 이다. $\cos^2 (\angle {\rm BAC} )= \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $73$

삼차함수 $f(x)$ 와 상수 $m \; (m

그림과 같이 앞면에 $2$, 뒷면에 $4$가 적혀 있는 검은색 카드 $2$장과 흰색 카드 $2$장, 앞면과 뒷면에 모두 $3$이 적혀 있는 흰색 카드 $1$장이 있다. 이 $5$장의 카드를 일렬로 나열할 때, 윗면에 보이는 숫자의 합이 $15$가 되도록 카드를 놓는 경우의 수는? (단, 카드1과 카드2, 카드3과 카드4는 서로 구별하지 않는다.) ① $120$ ② $140$ ③ $160$ ④ $180$ ⑤ $200$ 더보기 정답 ④

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게는 정규분포 ${\rm N} \left ( m, \; \sigma^2 \right )$ 을 따르고, 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의로 선택한 제품 $1$개의 무게를 $X$ 라 할 때, $| X-m | >10$ 일 확률이 $0.2112$ 이다. 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의추출한 제품 $n$ 개의 무게의 평균이 $m-1$ 이상일 확률이 $0.9878$ 이상이 되도록 하는 자연수 $n$ 의 최솟값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, 제품의 무게의 단위는 $\rm g$ 이다.) 더보기 정답 $324$

한 개의 주사위를 네 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $a, \; b, \; c, \; d$ 라 하자. $a \times b \times c \times d$ 의 값이 $4$ 의 배수일 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은 $p$ 이다. $27p$ 의 값을 구하시오. (가) $a \le b \le c$ (나) $d$ 는 짝수이다. 더보기 정답 $4$

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 이고 $\angle \rm ABC= \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 선분 $\rm AC$ 위에 점 $\rm D$ 가 있다. $\angle \rm CAB = \theta$ 이고, $\angle \rm ABD = 2 \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm BCD$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? (단, $0< \theta < \dfrac{\pi}{4}$) ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$..

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=4, \; \overline{\rm B_1C_1}=10$ 이고, $\overline{\rm A_1B_1}=\overline{\rm C_1D_1}=6$ 인 사다리꼴 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1 B_1$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고, 선분 $\rm D_1C_1$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 두 선분 $\rm A_1F_1, \; D_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 할 때, $5$ 개의 선분 $\rm A_1E_1, \; E_1G_1, \; G_1F_1, \; F_1D_1, \; D_1A_1$ 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ ..

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=f \left ( \left | 3xe^{1-x} \right | \right )$$ 은 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극값을 갖는 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$은 자연수) 라 하고 집합 $A$ 를 $$A=\{g(\alpha_i) \; | \; i=1, \; 2, \; \cdots, \; m\}$$ 이라 하면, 집합 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $m+n(A)=7$ (나) $g(\alpha_1)=g(\alpha_2) +3, \;\; g(\alpha_1) + g(\alp..

그림과 같이 점 ${\rm F}(p, \; 0) \; (p>0)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선 $y^2=4px$ 와 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 선분 $\rm AF$ 와 만나는 점을 $\rm P$ , $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AP}=\overline{\rm PF}$ (나) 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $-1$ 이다. 삼각형 $\rm AQB$ 의 넓이는? (단, 점 $\rm A$ 는 제1사분면 위의 점이다.) ..

그림과 같이 두 점 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원이 있다. 선분 $\rm F'F$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A$, $3:1$ 로 외분하는 점을 $\rm B$ 라 하고, 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $$\overline{\rm AF}=\overline{\rm AC}, \; \; \overline{\rm OC}= 2\sqrt{6}$$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이는 $p$ 이다. $p^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $192$