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목록2021/09 (66)
수악중독
그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에 두 선분 $\rm AB, \; CD$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm B$ 에 가까운 점을 $\rm P$ 라 하고, 반원의 호 $\rm CD$ 를 이등분하는 점을 $\rm Q$라 하자. 이 종이에서 두 선분 $\rm AB$ 와 $\rm CD$ 를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 평면 $\rm ABCD$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하면 두 점 $\rm G, \; H$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내분에 놓여 있고, $\overline{\rm PG} = \sqrt..
좌표평면에서 세 점 ${\rm A}(-3, \; 1)$, ${\rm B}(0, \; 2)$, ${\rm C}(1, \; 0)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |= 1, \quad \left | \overrightarrow{\rm BQ} \right | = 2, \quad \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OC} \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 를 만족시킬 때, $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 각각 $\rm P_0, ..
두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=a(x-2)(x-b)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값은? (가) $f(0)=6$ (나) $x$ 의 값의 범위가 $x>2$ 일 때, $f(x)>0$ 이다. ① $18$ ② $20$ ③ $22$ ④ $24$ ⑤ $26$ 더보기 정답 ①
$x$ 에 대한 삼차방정식 $x^3+(k-1)x^2-k=0$ 의 한 허근을 $z$ 라 할 때, $z+\overline{z}=-2$ 이다. 실수 $k$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 이차함수 $y=ax^2 \; (a>0)$ 의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 이 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 만난다. 선분 $\rm PQ$ 의 중점 $\rm M$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 선분 $\rm MH$ 의 길이가 $1$ 일 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③
이차항의 계수가 $1$인 이차다항식 $P(x)$ 와 일차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 $P(x+1)-Q(x+1)$ 은 $x+1$ 로 나누어 떨어진다. (나) 방정식 $P(x)-Q(x)=0$ 은 중근을 갖는다. 다항식 $P(x)+Q(x)$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지가 $12$ 일 때, $P(2)$ 의 값은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax \; (a>0)$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $y=ax$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 다음은 점 ${\rm D}(0, \; -1)$ 에 대하여 두 삼각형 $\rm DAB$ 와 $\rm DCO$ 의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 할 때, $\dfrac{S_2}{S_1}=2$ 를 만족시키는 상수 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) 원 $x^2+y^2=1$ 과 직선 $y=ax$ 가 만나는 점 $\rm A$ 의 좌표는 $${\rm A} \left ..
좌표평면 위에 점 ${\rm A}(0, \; 1)$ 이 있다. 이차함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P} \left ( t, \; \dfrac{t^2}{4} \right )\; (t>0)$ 을 지나고 기울기가 $\dfrac{t}{2}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=2$ 일 때, 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $1$ 이다. ㄴ. 두 직선 $\rm PQ$ 와 $\rm AQ$ 는 서로 수직이다. ㄷ. 선분 $\rm QA$ 를 $3:2$ 로 외분하는 점 $\rm R$ 가 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점을 때, 삼각형 $\rm RQP$ 의 넓이는 $ 6\sqrt{3}$ 이..
좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(-1, \; -9)$, ${\rm B}(5, \; 3)$ 에 대하여 $\angle \rm APB=45^{\rm o}$ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 가 있다. 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; P$ 를 지나는 원의 중심을 $\rm C$ 라 하자. 선분 $\rm OC$ 의 길이가 $k$ 라 할 때, $k$ 의 최솟값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ②