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목록2021/09 (66)
수악중독
그림과 같이 원의 중심 ${\rm C}(a, \; b)$ 가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 $r$ 이며 원점 $\rm O$ 를 지나는 원이 있다. 원과 $x$ 축, $y$ 축이 만나는 점 중 $\rm O$ 가 아닌 점을 각각 $\rm A, \; B$라 하자. 네 점 $\rm O, \; A, \; B, \; C$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b+r^2$ 의 값을 구하시오. (가) $\overline{\rm OB} - \overline{\rm OA}=4$ (나) 두 점 $\rm O, \; C$ 를 지나는 직선의 방정식은 $y=3x$ 이다. 더보기 정답 $14$
다항식 $P(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차다항식 $Q(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{Q(x+1)\}^2+\{Q(x)\}^2= \left (x^2 -x \right ) P(x)$$ 를 만족시킨다. $P(x)$ 를 $Q(x)$ 로 나눈 나머지를 $R(x)$ 라 할 때, $R(3)$ 의 값을 구하시오. (단, 다항식 $Q(x)$ 의 계수는 실수이다.) 더보기 정답 $54$
$t \ge 0$ 인 실수 $t$ 에 대하여 $t \le x \le t+3$ 에서 이차함수 $f(x)=x^2-4tx+10t$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 $g(t)$ 라 하자. $t$ 에 대한 방정식 $g(t)=-4t+a$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 범위는 $p
수직선 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t\;(t>0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 가 $$v(t)=-4t^3+12t^2$$ 이다. 시각 $t=k$ 에서 점 $\rm P$ 의 가속도가 $12$ 일 때, 시각 $t=3k$ 에서 $t=4k$ 까이 점 $\rm P$ 가 움직인 거리는? (단, $k$ 는 상수이다.) ① $23$ ② $25$ ③ $27$ ④ $29$ ⑤ $31$ 더보기 정답 ③
두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 곡선 $y=a \sin b \pi x \; \left ( 0 \le x \le \dfrac{3}{b} \right )$ 이 직선 $y=a$ 와 만나는 서로 다른 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 이 넓이가 $5$ 이고 직선 $\rm OA$ 의 기울기와 직선 $\rm OB$ 의 기울기의 곱이 $\dfrac{5}{4}$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
다항함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$xf(x)=2x^3 +ax^2 +3a + \displaystyle \int_1^x f(t)dt$$ 를 만족시킨다. $f(1)=\displaystyle \int_0^1 f(t) dt $ 일 때, $a+f(3)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ④
반지름의 길이가 $2\sqrt{7}$ 인 원에 내접하고 $\angle \rm A = \dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 포함하지 않는 호 $\rm BC$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 $\sin ( \angle \rm BCD ) = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ 일 때, $\overline{\rm BD} + \overline{\rm CD}$ 의 값은? ① $\dfrac{19}{2}$ ② $10$ ③ $\dfrac{21}{2}$ ④ $11$ ⑤ $\dfrac{23}{2}$ 더보기 정답 ② 다른풀이) 미적분에서 배우는 삼각함수의 덧셈정리를 사용한 풀이입니다.
첫째항이 $-45$ 이고 공차가 $d$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 $d$ 의 값의 합은? (가) $|a_m| = |a_{m+3}|$ 인 자연수 $m$ 이 존재한다. (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n a_k > -100$ 이다. ① $44$ ② $48$ ③ $52$ ④ $56$ ⑤ $60$ 더보기 정답 ②
최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f'(0)=f'(2)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양수 $p$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \begin{cases} f(x)-f(0) & (x \le 0) \\ f(x+p)-f(p) & (x>0) \end{cases}$$ 이라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $p=1$ 일 때, $g'(1)=0$ 이다. ㄴ. $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 $p$ 의 개수는 $1$ 이다. ㄷ. $p \ge 2$ 일 때, $\displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx \ge 0$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤