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수악중독
이차함수 \(f(x)=2x^2 -2nx + \dfrac{1}{2} n^2 + 6n +1 \;\;(n=1,\;2,\;3, \cdots\) 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 \({\rm P} (x_n ,\; y_n ) \) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{y_n}{x_n}\) 의 값을 구하시오. 정답 12
\(n\) 이 자연수일 때, 점 \({\rm A}_n \left ( n,\; \sqrt{3}n \right )\) 과 원 \(x^2 +y^2 = 4n^2 -3n\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 선분 \(\rm PA_{\it n}\) 의 길이의 최솟값을 \(a_n\) 이라 하자. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} a_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{3}{4}\) ③ \(\dfrac{4}{5}\) ④ \(\dfrac{5}{4}\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ②
다음은 모든 자여연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits _{k=1}^{n} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(5n+3)}{4}\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(2\), (우변)=\(2\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) \(n=m\) 일 때 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m..
\(3\) 으로도 \(5\) 로도 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 것부터 순서대로 나열한 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 한다. 예를 들면, \(a_1 =1,\;\;a_2 =2,\;\;a_3 = 4\) 이다. 이때, \(a_{100}\) 의 값은? ① \(172\) ② \(187\) ③ \(195\) ④ \(202\) ⑤\(210\) 정답 ②
한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형 모양의 검은 타일과 흰 타일이 있다. (가) [그림1]과 같이 검은 타일 \(3\) 개와 흰 타일 \(1\) 개를 붙여 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 이 되도록 한다. (나) [그림2]와 같이 [그림1]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형이 되도록 한다. 이때, [그림1]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다. (다) [그림3]과 같이 [그림2]의 정사각형의 바깥쪽에 타일을 붙여 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형이 되도록 한다. 이때, [그림2]에 있는 흰 타일의 둘레에는 검은 타일을, 검은 타일의 둘레에는 흰 타일을 붙인다. 이와 같은 과정을 계속하여 타일의 개수가 \(..
자연수 \(n\) 과 \(0 \le p < r \le n+1,\;\;\; 0 \le q
자연수 \(n\) 에 대하여 \(n^2\) 을 \(6\) 으로 나눈 나머지를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_n =4\) 를 만족시키는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 34
수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =2\) 이고, \[a_{n+1} = a_n + (-1)^n \dfrac{2n+1}{n(n+1)} \;\; (n \ge 1)\] 을 만족시킨다. \(a_{20}=\dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 39
그림은 직사각형 모양을 이루고 있는 \((5 \times 100)\) 개의 칸에 다음 규칙에 따라 수를 나열한 것이다. (가) 제 \(1\) 행에는 \(1,\;2,\;3,\; \cdots ,\; 100\) 을 차례로 나열하고, 각 행의 첫 칸에는 모두 \(1\) 을 나열한다. (나) 그림에 있는 \((2\times 2)\) 개의 칸으로 이루어진 임의의 직사각형 \( \matrix {a & b \\ c &d}\) 에서 등식 \( d= \left | b-c \right |\) 가 성립하도록 한다. 예를 들면, \(\matrix {4 &5 \\ 2 & 3}\) 에서 \(3= \left |5-2 \right | \) 가 성립한다. 이때 제 \(5\) 행 (어두운 부분)에 나열된 \(100\) 개의 수의 합을 구..
자연수 \(n\) 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 \(a_n\) 이라 하자. (가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고, 두 대각선의 교점은 \( \left ( n,\; 2^n \right ) \) 이다. (나) 정사각형과 그 내부에 있는 점 \((x,\;y)\) 중에서 \(x\) 가 자연수이고, \(y=2^x\) 을 만족시키는 점은 \(3\) 개 뿐이다. 예를 들어, \(a_1 =12\) 이다. \(\sum \limits_{k=1}^{7} a_k \) 의 값을 구하시오. 정답 392