수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} +  \cdots  + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}\) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) \(n=1\) 일 때,
    (좌변)\({ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1\), (우변)\(=2^0 =1\) 이므로 주어진 등식은 성립한다.
(ii) \(n=k\) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면   \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} +  \cdots  + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k} = k \cdot {2^{k - 1}}\] 이제 \(n=k+1\) 일 때, 성립함을 보이자.
\(_{k + 1}{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_3} +  \cdots  + k{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_k} + {\left( {k + 1} \right)_{k + 1}}{{\rm{C}}_{k + 1}}\) 
\(= \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {\left( {i{ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_i}} \right)} \)
\( = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {i \cdot \left( { 가 } \right)} \right\} + \left( {k + 1} \right){ \cdot _{k + 1}}{{\rm{C}}_{k + 1}}} \)
\( = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {1 + i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right) + } \left( {k + 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}} \)
\( = \sum\limits_{i = 1}^k {_k{{\rm{C}}_{i - 1}}}  + \sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right) + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}{ + _k}{{\rm{C}}_k}} } \)
\( = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {_k{{\rm{C}}_{i - 1}}{ + _k}{{\rm{C}}_k}} } \right) + \left[ {\sum\limits_{i = 1}^k {\left\{ {\left( {i - 1} \right){ \cdot _k}{{\rm{C}}_{i - 1}}} \right\} + k{ \cdot _k}{{\rm{C}}_k}} } \right] + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i{ \cdot _k}{{\rm{C}}_i}} \right)} \) 
\( = (\;나\; ) + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i \cdot {}_k{{\rm{C}}_i}} \right)}  + \sum\limits_{i = 1}^k {\left( {i \cdot {}_k{{\rm{C}}_i}} \right)} \)  
\(=(다)\)
그러므로 \(n=k+1\) 일 때에도 성립한다.
따라서, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 주어진 등식을 성립한다. 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	\[(가)\]	\[(나)\]	\[(다)\]
\[①\]	\[{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i}\]	\[\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \]	\[\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}\]
\[②\]	\[{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i}\]	\[\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \]	\[\left( {2k + 1} \right) \cdot {2^{k-1}}\]
\[③\]	\[{}_k{{\rm{C}}_{i - 1}} +{}_k{{\rm{C}}_i}\]	\[\sum\limits_{i = 1}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \]	\[\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}\]
\[④\]	\[{}_k{{\rm{C}}_{i}} +{}_k{{\rm{C}}_{i+1}}\]	\[\sum\limits_{i = 0}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \]	\[\left( {k + 1} \right) \cdot {2^k}\]
\[⑤\]	\[{}_k{{\rm{C}}_{i}} +{}_k{{\rm{C}}_{i+1}}\]	\[\sum\limits_{i = 1}^k {{}_k{{\rm{C}}_i}} \]	\[\left( {2k + 1} \right) \cdot {2^{k-1}}\]

정답 ①

관련개념
[수능 수학/수능수학] - 이항 계수의 성질 - C(n, r)=C(n-1, r-1)+C(n-1, r)