수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 상

자연수 \(t\) 에 대하여 \({H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} +  \cdots  + {\dfrac{1}{i}}\) 이라 할 때, 다음은 부등식 \[H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠ \] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(i) \(n=0\) 일 때,
     (좌변)\(= H_{2^0} = H_1 = (가)\)
     (우변) \(=1+{\dfrac{0}{2}} = 1\)
     그러므로  ㉠이 성립한다.
(ii) \(n=k\) 일 때,
     \(H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}\) 가 성립한다고 가정하면
     \(H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{1}{2}} +{\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{2^k}} + (나) \)
               \(= H_{2^k} + (나) \) 
               \( \ge \left ( 1+ {\dfrac {k}{2}} \right ) + (나) \)
               \( \ge \left ( 1+ {\dfrac {k}{2}} \right ) + (다) \cdot {\dfrac{1}{2^{k+1}}}\) 
               \(1+{\dfrac{k+1}{2}}\)
그러므로 \(n=k+1\) 일 때도 ㉠이 성립한다.
따라서 \(0\) 과 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 ㉠이 성립한다.  

 
위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	\[(가)\]	\[(나)\]	\[(다)\]
\[①\]	\[1\]	\[\sum\limits_{l = 1}^{2^k}\frac{1}{2^k +1} \]	\[2^{k-1}\]
\[②\]	\[1\]	\[ \sum\limits_{l = 1}^{2^k}\frac{1}{2^k +1} \]	\[2^k\]
\[③\]	\[1\]	\[\frac{1}{2^k +1}\]	\[2^k\]
\[④\]	\[\frac{3}{2}\]	\[ \frac{1}{2^k +1} \]	\[2^{k-1}\]
\[⑤\]	\[\frac{3}{2}\]	\[ \frac{1}{2^k +1} \]	\[2^k\]

정답 ②