수학1_수학적 귀납법 및 귀납적 정의_수학적 귀납법 괄호채우기_난이도 중

다음은 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이면 \( a_n = (가) \) 임을 증명하는 과정이다.

임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이므로
\(a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3} \) 
         \(= \left ( \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_i \right )^2 - \left ( \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) ^2 \) 
         \(= \left ( \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_i - \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) \left ( \sum \limits _{i-1}^{k+1} a_i + \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) \)
         \(=(나) \left ( (나) +2 \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \right ) \)
 \(\therefore a_{k+1}^{2} = a_{k+1} + 2 \sum \limits _{i=1}^{k} a_i \;\;\cdots\cdots \;①\)
 ①과 ②에서 \(a_{k+1}^{2} - a_{k}^{2} = (다) \)
따라서 \(\{a_n\}\) 은 등차수열이다.
\(\therefore a_n = (가) \)  

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	\[(가)\]	\[(나)\]	\[(다)\]
\[①\]	\[a_n = 2n\]	\[a_{k+1}\]	\[a_{k+1} +a_{k}\]
\[②\]	\[ a_n = 2n \]	\[a_k\]	\[ a_{k+1} -a_{k} \]
\[③\]	\[ a_n = n \]	\[a_{k+1}\]	\[ a_{k+1} -a_{k} \]
\[④\]	\[a_n =n\]	\[a_k \]	\[ a_{k+1} +a_{k} \]
\[⑤\]	\[a_n =n\]	\[a_{k+1}\]	\[ a_{k+1} +a_{k} \]

정답 ⑤