수학1_행렬_행렬진위_행렬 곱셈에서의 교환법칙이 성립하는 경우_난이도 상

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 $A,\;B$ 가 $A^{-1} +B^{-1} =E$ 를 만족할 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. $\left ( A+B \right ) \left ( A-B\right ) =A^2 - B^2$
ㄴ. $\left (A-E \right )^{-1} = B-E$
ㄷ. $\left ( A+B \right )^{-1} = A^{-1} B^{-1}$ 

① ㄱ          ② ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤



행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 5가지 경우

① 둘 중 하나 이상이 O 행렬인 경우  ex) AO=OA=O
② 둘 중 하나 이상이 단위 행렬인 경우 ex) AE=EA=A
③ 둘의 관계가 역행렬 관계인 경우
    더 나아가 둘의 곱이 단위 행렬의 실수배로 표현되는 경우
    ex) AB=BA=E, AB=BA=kE (k는 실수)
④ 행렬의 거듭제곱 ex) A²A³=A³A²
⑤ 한 행렬이 다른 행렬의 다항식 꼴로 표현될 때
    ex) B=A²+2A-3E 이면 AB=BA (직접 해 보세요)
    더 나아가 한 행렬이 다른 행렬의 일차식 꼴로 표현될 때
    ex) 케일리-헤밀턴 정리를 이용하면 위 예제에서 A²을 일차식으로 다운시킬 수 있다.