역함수의 적분_난이도 상 (2026년 7월 고3 미적분 28번)

 

 

함수 $f(x)=x - \dfrac{1}{e^x + 1}$의 역함수 $f^{-1}(x)$와 $x > 0$에서 정의된 연속함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_{1}^{e^x} f^{-1}(g(t))\, dt = (x-1)e^x + k \quad (\text{단, } k\text{는 상수이다.})$$ 를 만족시킨다. 함수 $g(x)$의 역함수 $g^{-1}(x)$에 대하여 $\displaystyle \int_{f(0)}^{f(k)} (f^{-1}(x) + g^{-1}(x))\, dx$의 값은? 

① $e$          ② $2e$          ③ $3e$          ④ $4e$          ⑤ $5e$

 

정답  ①