벡터 내적의 최대와 최소_난이도 상 (2026년 7월 고3 기하 28번)

 

 

좌표평면에 $\overline{\mathrm{AB}}=6$, $\overline{\mathrm{AD}}=8$인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 선분 $\mathrm{CD}$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$와 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 내부의 한 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \left |\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right |^2$
(나) $10\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{BA}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

$(\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}) \cdot (\overrightarrow{\mathrm{PR}} + \overrightarrow{\mathrm{QR}})=0$을 만족시키는 점 $\mathrm{R}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값은? 

① $\dfrac{226}{5}$          ② $\dfrac{236}{5}$          ③ $\dfrac{246}{5}$          ④ $\dfrac{256}{5}$          ⑤ $\dfrac{266}{5}$

 

 

정답 ⑤