공간에 $\overline{\mathrm{AB}} = 10\sqrt{5}$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 구 $S$가 있다. 구 $S$ 위의 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에 대하여 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 평면 $\alpha$ 위에 있고, $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}=10$이다. 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 $\mathrm{P}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $\mathrm{BD}$ 위에 있다. (나) 평면 $\mathrm{PAD}$와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기는 $\dfrac{\pi}{4}$이다.
평면 $\mathrm{PAB}$와 평면 $\mathrm{PBC}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos^2\theta=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
