$p>1$인 상수 $p$에 대하여 함수 $f(x)=x^{2}-px$가 있다. 실수 $t \; (t>-p)$에 대하여 함수 $y=|f(x)|$의 그래프와 직선 $y=x+t$가 만나는 점의 좌표 중 가장 작은 값을 $\alpha(t)$, 가장 큰 값을 $\beta(t)$라 하자. 열린구간 $(-p, \infty)$에서 정의된 함수 $$g(t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \{|f(x)|-(x+t)\}dx$$의 최댓값이 $\dfrac{1}{2}$일 때, $p$의 값은?
① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$
