수학1_행렬_행렬진위_교환법칙이 성립하는 경우_난이도 하

임의의 세 정사각행렬 $A,\;B,\;C$ 에 대하여 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?
(단, $E$ 는 단위행렬, $O$ 는 영행렬이다.)

ㄱ. $A^2 =A^5 =E$ 이면 $A=E$ 이다.
ㄴ. $A+B=E$ 이면 $A^2 -B^2 =A-B$ 이다.
ㄷ. $(A+E)^2 = A^2 +A +E$ 이다.
ㄹ. $AB=E,\; AC=O$ 이면 $C=O$ 이다.

① ㄱ, ㄴ          ② ㄴ, ㄷ            ③ ㄱ, ㄴ, ㄷ           ④ ㄱ, ㄴ, ㄹ          ⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

정답 ④



행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 5가지 경우

① 둘 중 하나 이상이 O 행렬인 경우  ex) AO=OA=O
② 둘 중 하나 이상이 단위 행렬인 경우 ex) AE=EA=A
③ 둘의 관계가 역행렬 관계인 경우
    더 나아가 둘의 곱이 단위 행렬의 실수배로 표현되는 경우
    ex) AB=BA=E, AB=BA=kE (k는 실수)
④ 행렬의 거듭제곱 ex) A²A³=A³A²
⑤ 한 행렬이 다른 행렬의 다항식 꼴로 표현될 때
    ex) B=A²+2A-3E 이면 AB=BA (직접 해 보세요)
    더 나아가 한 행렬이 다른 행렬의 일차식 꼴로 표현될 때
    ex) 케일리-헤밀턴 정리를 이용하면 위 예제에서 A²을 일차식으로 다운시킬 수 있다.