수학1_행렬_행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 경우_난이도 하

두 이차정사각행렬 $P, \;Q$ 에 대하여 $PQ=QP$ 이기 위한 충분 조건을 다음 <보기> 중 모두 고른 것은? (단, $E$ 는 단위행렬, $O$ 는 영행렬이다.)

          ㄱ. $PQ=O$                         ㄴ. $P+Q=2E$         
          ㄷ. $(PQ)^2 = (QP)^2$             ㄹ. $P=Q^2$

① ㄱ, ㄴ          ② ㄴ, ㄷ          ③ ㄴ, ㄹ          ④ ㄱ, ㄷ, ㄹ          ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

정답 ③



행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 5가지 경우

① 둘 중 하나 이상이 O 행렬인 경우  ex) AO=OA=O
② 둘 중 하나 이상이 단위 행렬인 경우 ex) AE=EA=A
③ 둘의 관계가 역행렬 관계인 경우
    더 나아가 둘의 곱이 단위 행렬의 실수배로 표현되는 경우
    ex) AB=BA=E, AB=BA=kE (k는 실수)
④ 행렬의 거듭제곱 ex) A²A³=A³A²
⑤ 한 행렬이 다른 행렬의 다항식 꼴로 표현될 때
    ex) B=A²+2A-3E 이면 AB=BA (직접 해 보세요)
    더 나아가 한 행렬이 다른 행렬의 일차식 꼴로 표현될 때
    ex) 케일리-헤밀턴 정리를 이용하면 위 예제에서 A²을 일차식으로 다운시킬 수 있다.