그림과 같이 $2<a<4$ 인 실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x)=ax^2, \; g(x)=-a(x-a)^2+a^2$ 의 그래프가 있다. 직선 $y=4a$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하고, 직선 $y=ax$ 와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 만나는 점을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $8 \times M$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표보다 작고, 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{D}$ 의 $x$ 좌표보다 작다.)
