이차방정식의 켤레근 & 근과 계수와의 관계_난이도 하 (2023년 9월 전국연합 고1 25번)

 

 

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-px+p+19=0$ 이 서로 다른 두 허근을 갖는다. 한 허근의 허수부분이 $2$ 일 때, 양의 실수 $p$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $10$

실계수 이차방정식이므로 주어진 이차방정식의 한 허근을 $a+2i$ 라고 하면 나머지 한 근은 $a-2i$ 가 된다.

이차방정식 근과 계수와의 관계를 이용하면 $2a=p, \; a^2+4=p+19$ 이므로

$a^2-2a-15=0$

$(a-5)(a+3)=0$

$\therefore p=2a=2 \times 5 = 10 \; (\because p>0)$