적분과 통계_적분_정적분의 성질_난이도 상

다음은 곡선 $y=e^x$ 위의 점 ${\rm P}(x,\;y)$ 에서의 접선이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $f(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int _{-1}^{1}  f(x) dx$ 의 값을 구하는 과정이다. $\left ( 단, \; 0<f(x)<\dfrac{\pi}{2} \right )$

곡선 $y=e^x$ 에서 $y'=e^x$ 이므로 $\tan f(x)=e^x$ 이다.

모든 $x$ 에 대하여 $0<f(x)<\dfrac{\pi}{2}$ 이고,

$\tan f(x) \cdot \tan f(-x)= (가)$ 이므로 $f(x)+f(-x)=(나)$

$\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx=\displaystyle \int _{-1}^{1} f(-x) dx$ 이므로 $\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx= (다)$ 

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 순서대로 적으면?

① $1,\;\;\dfrac{\pi}{2},\;\; \dfrac{\pi}{4}$                    ② $1,\;\;\dfrac{\pi}{2},\;\;\pi$

③ $1,\;\; \dfrac{\pi}{2},\;\;\dfrac{\pi}{2}$                    ④ $-1,\;\;\pi,\;\;\dfrac{\pi}{2}$

⑤ $-1,\;\;\pi,\;\;\pi$

정답 ③