지수함수의 그래프&지수함수의 최대최소_난이도 상 (2022년 11월 전국연합 고2 30번)

양의 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = \begin{cases}2^x+2^{-a}-2 & (x<a) \\2^{-x}+2^a-2 & (x \ge a)\end{cases}$$ 라 할 때, 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $a$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자.

 

함수 $y=|f(x)|$ 의 그래프와 직선 $y=k$ 가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 양수 $k$ 는 오직 하나뿐이다.

 

$2^{M+m}=p+\sqrt{q}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 자연수이다.)

 

정답 $4$