로그방정식_난이도 중 (2022년 11월 전국연합 고2 18번)

$1$ 이 아닌 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 를 $f(x)=2^{\frac{1}{\log_2 x}}$ 이라 하자. 다음은 방정식 $8 \times f(f(x))=f \left (x^2 \right )$ 의 모든 해의 곱을 구하는 과정이다.

 

$x \ne 1$ 인 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여

$f(f(x))=2^{\frac{1}{\log_2 f(x)}}$ 에서 

$8\times f(f(x))=2^{ \left ( \boxed{ (가) } +\frac{1}{\log_2 f(x)} \right )}$ 이고,

$f(x)=2^{\frac{1}{\log_2 x}}$ 에서 $\log_2 f(x)=\dfrac{1}{\boxed { (나) }}$ 이다.

방정식 $8 \times f(f(x))=f \left (x^2 \right )$ 에서 

$2^{\left ( \boxed{ (가) } + \boxed{ (나) }\right )}=2^{\frac{1}{2\log_2 x}}$ 

$\boxed { (가) } + \boxed{ (나) }= \dfrac{1}{2 \log_2 x}$

그러므로 방정식 $ 8 \times f(f(x))=f \left (x^2 \right )$ 의 모든 해는

방정식 $\left ( \boxed { (가) } + \boxed { (나) } \right ) \times 2 \log_2 x = 1$ 의 모든 해와 같다.

따라서 방정식 $8 \times f(f(x)) = f \left (x^2 \right )$ 의 모든 해의 곱은 $\boxed{ (다) }$ 이다. 

 

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 하고, (나)에 알맞은 식을 $g(x)$ 라 할 때, $p \times q \times g(4)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{1}{4}$          ② $\dfrac{3}{8}$          ③ $\dfrac{1}{2}$          ④ $\dfrac{5}{8}$          ⑤ $\dfrac{3}{4}$

 

정답 ⑤