표본평균의 평균과 분산_난이도 상 (2021년 10월 전국연합 고3 확통 30번)

주머니에 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 $4$ 개의 수의 합을 확률변수 $X$ 라 할 때, 확률변수 $X$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) ${\rm P}(X=4) = 16 \times {\rm P}(X=16) = \dfrac{1}{81}$

(나) ${\rm E}(X)=9$

 

${\rm V}(X)= \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $23$