이차방정식과 이차함수의 그래프&이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계_난이도 상 (2020년 11월 전국연합 고1 30번)

두 정수 $m, \; n$ 에 대하여 이차함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $0$ 이다.

(나) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프는 두 점 $(m, \;0)$ , $(m+4, \; 32n)$ 에서 만난다.

(다) $0 \le a \le 4$ 인 정수 $a$ 에 대하여 정수 $b$ 가 부등식 $g(m+a) \le b \le f(m+a)$ 를 만족시킬 때, $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는 $45$ 이다.

 

방정식 $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2=0$ 을 만족시키는 실근 중 최댓값과 최솟값의 합이 $8$ 일 때, $f(5) \times g(5)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $64$