이차방정식 활용_난이도 중 (2020년 6월 전국연합 고1 29번)

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}<k<\sqrt{2}$ 인 실수 $k$ 에 대하여 그림과 같이 한 변의 길이가 각각 $2, \; 2k$ 인 두 정사각형 $\rm ABCD, \; EFGH$ 가 있다. 두 정사각형의 대각선이 모두 한 점 $\rm O$ 에서 만나고, 대각선 $\rm FH$ 가 변 $\rm AB$ 를 이등분한다. 변 $\rm AD$ 와 $\rm EH$ 의 교점을 $\rm I$, 변 $\rm AD$ 와 $\rm EF$ 의 교점을 $\rm J$, 변 $\rm AB$ 와 $\rm EF$ 의 교점을 $\rm K$ 라 하자. 삼각형 $\rm AKJ$ 의 넓이가 삼각형 $\rm EJI$ 넓이의 $\dfrac{3}{2}$ 배가 되도록 하는 $k$ 의 값이 $p\sqrt{2}+q\sqrt{6}$ 일 때, $100(p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

 

정답 $50$