미분_평균값의 정리_난이도 상 (2020년 4월 교육청 고3 나형 30번)

양의 실수 $t$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(t) = \dfrac{f(t)-f(0)}{t}$ 이라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(t)$ 의 최솟값은 $0$ 이다.
(나) $x$ 에 대한 방정식 $f'(x)=g(a)$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 $a$ 와 $\dfrac{5}{3}$ 이다. (단, $a>\dfrac{5}{3}$  인 상수이다.)

자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $A_m = \{x \; | \; f'(x)=g(m), \; 0<x \le m \}$ 이라 할 때, $n(A_m)=2$ 를 만족시키는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합을 구하시오.

정답 $35$