최대최소와 미분&미분가능성_난이도 상 (2020년 6월 평가원 고3 나형 30번)

이차함수 $f(x)$ 는 $x=-1$ 에서 극대이고, 삼차함수 $g(x)$ 는 이차항의 계수가 $0$ 이다. 함수 $h(x)=\begin{cases} f(x) & (x \le 0) \\[10pt] g(x) & (x>0) \end{cases}$ 이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $h'(-3)+h'(4)$ 의 값을 구하시오.

(가) 방정식 $h(x)=h(0)$ 의 모든 실근의 합은 $1$ 이다.

(나) 닫힌구간 $[-2, \; 3]$ 에서 함수 $h(x)$ 의 최댓값과 최솟값의 차는 $3+4\sqrt{3}$ 이다.

정답 $38$