(이과) 벡터 내적의 최대최소_난이도 상 (2018년 11월 대구교육청 가형 29번)

좌표공간에서 점 ${\rm A}(0, \; 0, \; 2)$ 와 구 $x^2 +y^2 +z^2 =1$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 는 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | =2, \;\; \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | = \sqrt{3}$$ 을 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $8(M-m)^2$ 의 값을 구하시오. 

정답 $90$