벡터의 성분과 내적&직선의 벡터 방정식_난이도 중상 (2018년 9월 평가원 가형 29번)

좌표공간에서 점 ${\rm A} \left ( 3, \; \dfrac{1}{2}, \; 2 \right )$와 평면 $z=1$ 위의 세 점 $\rm P_1, \; P_2, \; P_3$ 이 $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_1} = \dfrac{11}{3} , \; \; \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_2} = 1, \;\; \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_3} = - \dfrac{7}{4}$  을 만족시킨다. 점 $(0, \; k, \; 0)$ 을 지나고 방향벡터가 $(1, \; -6, 0)$ 인 직선을 $l$ 이라 하고, 직선 $l$ 에 의해 나누어지는 $xy$ 평면의 두 영역을 각각 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. 세 점 $\rm P_1, \; P_2, \; P_3$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발이 모두 $\alpha$ 에만 포함되거나 모두 $\beta$ 에만 포함되도록 하는 양의 정수 $k$ 의 최솟값을 $m$, 음의 정수 $k$ 의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $m-M$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

정답 $12$