(이과) 벡터 내적의 최대최소&내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2018년 7월 교육청 가형 29번)

그림과 같이 평면 위에 $\overline{\rm OA}=2\sqrt{11}$ 을 만족하는 두 점 $\rm O, \; A$ 와 점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 $\sqrt{5}, \; \sqrt{14}$ 인 두 원 $C_1, \; C_2$ 가 있다. 원 $C_1$ 위의 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\rm R$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 양수 $k$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PQ}=k \overrightarrow{\rm QR}$

(나) $\overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AR} = 0$ 이고 $\overline{\rm PQ}:\overline{\rm AR}=2:\sqrt{6}$

원 $C_1$ 위의 점 $\rm S$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AR} \cdot \overrightarrow{\rm AS}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $Mm$ 의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{\pi}{2} < \angle{\rm ORA}<\pi$)

정답 $486$