정적분으로 정의된 함수 & 극대와 극소_난이도 상 (2018년 3월 교육청 가형 30번)

함수 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{lc} e^x & (0 \le x < 1) \\ e^{2-x}&(1 \le x \le 2) \end{array} \right . $$  에 대하여 열린 구간 $(0, \; 2)$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \displaystyle \int_0^x |f(x)-f(t)|\;dt$$ 의 극댓값과 극솟값의 차는 $ae+b\sqrt[3]{e^2}$ 이다. $(ab)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.)

정답 $36$