미적분2_넓이와 정적분&부분적분_난이도 상 (2017년 11월 수능 가형 30번)

실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{cc} 1-|x-t| & (|x-t|\le 1) \\ 0 & (|x-t|>1) \end{array}\right .$$ 이라 할 때, 어떤 홀수 $k$ 에 대하여 함수 $$g(t)= \displaystyle \int_k^{k+8} f(x) \cos(\pi x)\; dx $$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 극소이고 $g(\alpha)<0$ 인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)라 할 때, $\sum \limits_{i=1}^m \alpha_i = 45$ 이다.

$k-\pi^2 \sum \limits_{i=1}^m g(\alpha_i)$ 의 값을 구하시오.

정답 $21$

$t=k$ 일 때, 왜 극소가 되는지 모르겠다는 분들이 계셔서 보충자료 올립니다.

$k \le t < k+1$ 에 있을 때 g(t) 를 아래 와 같이 $\dfrac{3}{\pi^2} \cos \pi t + \dfrac{1}{\pi^2}$ 이 됩니다.