미적분2_정적분으로 정의된 함수&부정적분_난이도 상 (2017년 10월 교육청 가형 30번)

그림과 같이 길이가 2 인 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\overline{\rm AP}=x$ 라 할 때, $S(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $0<x<2$ 일 때 $S(x)$ 는 두 선분 $\rm AP$, $\rm PQ$ 와 혼 $\rm AQ$ 로 둘러싸인 도형의 넓이이고, $x=2$ 일 때 $S(x)$ 는 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 넓이이다. $$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3}{4}\pi} \left \{ S(1+ \sin \theta) - S(1+ \cos \theta) \right \} \; d \theta = p+q \pi^2$$ 일 때, $\dfrac{30p}{q}$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.)

정답 $80$