(이과) 사차함수 그래프의 특징&몫의 미분법_난이도 상

$x>a$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  $g(0)=0$

(나) 방정식 $\log_2 g(x) = k$ (단, $k$ 는 자연수) 의 해집합 $\{a, \; b, \; c\}$ 에 대해서 $ac<0<b<c-a$ 가 성립한다.

(다)   $x>a$ 인 모든 실수 $x$  에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$ 이고, 함수 $f(x)$ 는 $x=0, \;x=\alpha$ 에서 동일한 극값을 갖는다.

이때,  $g(c) \times \log_{\sqrt{8}}b=n$ 을 만족시키는 $1000$  이하의 자연수 $ n$ 의 값의 합을 구하시오. 

정답 $836$