미분가능_난이도 상

실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 관한 방정식 $$\left (x^2-x \right ) \left ( x - (3t+1 ) \sqrt{x} +2t^2+t \right )=0$$ 의 서로 다른 실근의 합을 $f(t)$ 라고 하자. $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x^2}=1$ 인 다항함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 집합  $$\begin{array}{ll}A= \left \{ s \; \middle | \; \lim \limits_{t \to s}f(t) \ne f(s) \right \} \\ B=\left \{ s \; \middle | \; \lim \limits_{t \to s} \left | f(t)-f(\alpha) \right | \ne \left | f(s)-f(\alpha) \right | \right \} \end{array}$$ 에 대하여 $A=B$ 이다. 

(나) 모든 실수 $t$ 에 대해 함수 $\left | f(t) - f(\alpha) \right |\;g(t)$ 가 미분가능하다.

$\dfrac{1}{\alpha g \left ( \dfrac{1}{2} \right )}$ 의 최댓값을 구하시오. (단, $\alpha$ 는 $0$ 인 아닌 상수이다.)

정답 $8$