(이과) 넓이와 정적분&역함수_난이도 상

이 문제는 2017학년도 샤인미 모의고사 1회 30번 문제입니다. 풀이 영상 공유를 허락해 주신 출제자님께 감사드립니다.

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실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1)=g(1)$

(나) 세 실수 $a, \; b, \; c$ 와 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0 \le x \le 1$ 일 때, $f(x+n)=g\left (\dfrac{a}{x-b}+cx \right ) +n$ 이다.

연속함수 $f'(x)$ 와 임의의 음이 아닌 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $$\{ f'(x_1) - f'(x_2) \}(x_1-x_2) \ge 0$$일 때, $\displaystyle \int_0^4 f(x) \; dx$ 의 최댓값은 $p \ln 2 + q$ 이다. $9pq$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.)

정답 $88$