부등식의 영역&수열의 합_난이도 상

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S(n)$ 을 $$S(n)=\{ (x, \; y) \; | \; y-n \le x+6 \le 12, \; x, \; y는\; 자연수 \}$$라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $a_n$ 이라 하자.

(가) 정사각형의 네 꼭짓점은 집합 $S(n)$ 의 원소이다.

(나) 정사각형의 네 변은 좌표축과 각각 평행하다.

$\sum \limits_{n=1}^6 a_n$ 의 값을 구하시오. 

정답 $855$