수열의 극한 응용_난이도 상 (2016년 7월 교육청 나형 29번)

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 와 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 와 평행한 직선 $l$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 중심 ${\rm O}_n$ 이 변 $\rm AC$ 위에 있고 반지름의 길이가 $\sqrt{3} \left (\dfrac{1}{2} \right ) ^{n-1}$ 인 원이 직선 $\rm AB$ 와 직선 $l$ 에 모두 접한다. 이 원과 직선 $\rm AB$ 가 접하는 점을 ${\rm P}_n$ , 직선 ${\rm O}_n{\rm P}_n$ 과 직선 $l$ 이 만나는 점을 ${\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm BO}_n{\rm Q}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} 2^n S_n = k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오.

정답 $192$