도형과 무한등비급수_난이도 중 (2016년 8월 대구교육청 나형 20번)

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=3, \; \overline{\rm A_1B_1}=4$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 의 변 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1$ 의 중점을 각각 $\rm M_1, \; N_1, \; P_1, \; Q_1$ 이라 하고, 이 점들을 연결하여 사각형 $\rm M_1N_1P_1Q_1$ 을 만든다.

삼각형 $\rm A_1M_1Q_1, \; B_1N_1M_1, \; C_1P_1N_1, \; D_1Q_1P_1$ 에 각각 내접하는 원을 그리고, 각 삼각형의 내부와 내접하는 원의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 사각형 $\rm M_1N_1P_1Q_1$ 에 내접하면서 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 $3:4$ 이고 가로가 선분 $\rm B_1C_1$ 과 평행한 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 에서 그림 $R_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로 삼각형 $\rm A_2M_2Q_2, \; B_2N_2M_2, \; C_2P_2N_2, \; D_2Q_2P_2$ 에 각각 내접하는 원을 그리고, 각 삼각형의 내부와 내접하는 원의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칙되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n=p-q\pi$ 이다. $6pq$ 의 값은? (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.)

① $56$          ② $60$          ③ $64$          ④ $68$          ⑤ $72$

정답 ③