도형과 무한등비급수_난이도 상 (2016년 7월 교육청 나형 15번)

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 이 있다. 네 변 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1$ 을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 의 외부에 그려 만들어진 $4$ 개의 호로 둘러싸인  모양의 도형을 $E_1$ 이라 하자. 네 변 $\rm D_1A_1, \; A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1$ 의 중점 $\rm P_1, \; Q_1, \; R_1, \; S_1$ 을 꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 $E_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 도형을 $F_1$ 이라 하자. 도형 $E_1$ 의 내부와 도형 $F_1$ 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $G_1$ 이라 하자. 

그림 $G_1$ 에 네 변 $\rm P_1Q_1, \; Q_1R_1, \; R_1S_1, \; S_1 P_1$ 의 중점 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는  모양의 도형을 $E_2$ 라 하자. 네 변 $\rm D_2A_2, \; A_2B_2, \; B_2C_2, \; C_2D_2$ 의 중점 $P_2, \; Q_2, \; R_2, \; S_2$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E_1$ 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는  모양의 도형을 $F_2$ 라 하자. 그림 $G_1$ 에 도형 $E_2$ 의 내부와 도형 $F_2$ 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $G_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $G_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $T_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} T_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{4}{3}(\pi +2)$          ② $\dfrac{3}{2}(\pi +2)$          ③ $\dfrac{5}{3}(\pi+2)$           ④ $\dfrac{4}{3}(\pi+4)$          ⑤ $\dfrac{5}{3}(\pi+4)$

정답 ①

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