절대부등식_산술기하평균_난이도 중 (2016년 4월 교육청 나형 27번)

좌표평면 위에 함수 $f(x) = \begin{cases} {\dfrac{3}{x}}&{(x > 0)} \\ {\dfrac{{12}}{x}}&{(x < 0)}\end{cases}$ 의 그래프와 직선 $y=-x$ 가 있다. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 직선 $y=-x$  와 만나는 점을 $\rm Q$, 점 $\rm Q$ 를 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 $y=f(x)$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 라 할 때, 선분 $\rm PQ$ 와 선분 $\rm QR$ 의 길이의 곱 $\rm \overline{PQ} \times \overline{QR}$ 의 최솟값을 구하시오.  

정답 $27$