연속확률분포

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연속확률분포 본문

(9차) 확률과 통계 개념정리

연속확률분포

수악중독 2017. 6. 20. 01:55

연속확률분포 - 확률밀도함수

확률밀도함수의 성질

관련예제

[(9차) 확률과 통계] - 확률밀도함수의 성질_난이도 중

연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차

정규분포란?

정규분포의 표준화 (표준정규분포)

표준정규분포표를 읽는 방법

다음그림은 표준정규분포표의 일부입니다.

표준정규분포표는 항상 ${\rm P} (0 \le Z \le z)$ 의 값을 나타냅니다. 즉, 확률변수 $Z$ 가 $0$ 에서부터 $z$ 까지의 값을 갖게 되는 확률을 나타내는 것이지요. 표에서 찾아야 하는 것은 바로 $z$ 값입니다. 이 $z$ 값은 소수 첫 번째 자리의 수가 맨 왼쪽 세로줄에 표시가 되고, 소수 두 번째 자리의 수가 맨 윗쪽 가로죽에 표시가 됩니다. 따라서 해당 가로줄과 세로줄이 만나는 곳의 적혀 있는 값이 우리가 찾는 확률값이 됩니다.

예를 들어, ${\rm P}(0 \le Z \le 1.96)$ 의 값을 찾으려면 맨 왼쪽의 세로줄에서 $1.9$ 이 적혀 있는 곳을 찾고, 맨 윗쪽의 가로줄에서 $6$ 이 적혀 있는 곳을 찾습니다. 그리고 $1.9$ 에서는 오른쪽으로, $6$ 에서는 아랫쪽으로 가다가 둘이 만나는 지점에 있는 값 $0.4750$ 이 우리가 찾는 확률값이 됩니다. 이와 같이 값을 읽는다면 ${\rm P}(0 \le Z \le 2.58) = 0.4951$ 이 됩니다.

※ $a>0, \; b>0$ 일 때, 표준정규분포표의 이용법

(1) ${\rm P}(a \le Z \le b) = {\rm P}(0 \le Z \le b) - {\rm P}(0 \le Z \le a)$

(2) ${\rm P}(-a \le Z \le b) = {\rm P}(-a \le Z \le 0) + {\rm P}(0 \le Z \le b) = {\rm P} (0 \le Z \le a) + {\rm P}( 0 \le Z \le b)$

(3) ${\rm P}(Z \ge a) = 0.5 - {\rm P}(0 \le Z \le a)$

이항분포의 정규분포로의 근사

확률변수가 $X$ 가 이항분포 ${\rm B}(n, \;p)$ 를 따를 때, $n$ 이 충분히 큰 확률변수 $X$ 의 분포는 근사적으로 정규분포 ${\rm N}(np, npq)$ 를 따른다는 것이 알려져 있다. (단, $p+q=1$ )

이 내용은 고등학교 교육과정에서 설명할 수 있는 범위를 넘어선다. 따라서 다음의 예제로 설명을 대신한다.

주사위를 $n$ 회 던질 때, $1$ 의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$ 라고 하면 $X$ 는 이항분포 ${\rm B} \left ( n, \; \dfrac{1}{6} \right )$ 를 따르게 되고, $n$ 이 커짐에 따라 이항분포의 확률값들의 형태가 정규분포의 형태를 보임을 알 수 있다.

위 그림에서 볼 수 있듯이 $n$ 이 $30$ 이상의 값을 갖게되면 이항분포를 정규분포로 근사시킬 수 있다고 알려져 있다. (고등학교 교육과정에서는 그냥 이렇게 알아두도록 하자.)

실제 문제에서는 "주사위를 $720$ 번 던질 때, $1$ 의 눈이 나오는 횟수를 확률 변수 $X$ 라고 하면 $X$ 는 이항분포 ${\rm B} \left( 720, \; \dfrac{1}{6} \right )$ 을 따르게 된다. " 과 같은 부분이 등장을 하게 된다. 이때, $n=720$ 이 충분히 크기 때문에 ( $30$ 보다는 훨씬 큰 수이기 때문에) 확률변수 $X$ 가 근사적으로 정규분포 ${\rm N} \left ( 120, \; 10^2 \right )$ 를 따른다고 생각하고 문제를 풀면 된다.