미적분과 통계기본_통계_이항분포의 정규분포로의 근사_난이도 중

세 확률변수 \(X,\;Y,\; W\) 는 각각 다음과 같다.
\(X\) 는 이항분포 \({\rm B} \left (100,\; {\large \frac{1}{5}} \right )\) 을 따른다. \(Y\) 는 이항분포  \({\rm B} \left (225,\; {\large \frac{1}{5}} \right )\) 을 따른다. \(W\) 는 이항분포  \({\rm B} \left (400,\; {\large \frac{1}{5}} \right )\) 을 따른다. 
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
  

ㄱ. \({\rm P} \left ( \left | {\Large \frac{X}{100}} - {\Large \frac{1}{5}} \right | < {\Large \frac{1}{10}} \right ) <  {\rm P} \left ( \left | {\Large \frac{W}{400}} - {\Large \frac{1}{5}} \right | < {\Large \frac{1}{10}} \right ) \)
ㄴ. \({\rm P} \left ( \left | {\Large \frac{X}{100}} - {\Large \frac{1}{5}} \right | < {\Large \frac{1}{10}} \right ) <  {\rm P} \left ( \left | {\Large \frac{Y}{225}} - {\Large \frac{1}{5}} \right | < {\Large \frac{1}{25}} \right ) \)
ㄷ. \({\rm P} \left ( \left | {\Large \frac{Y}{225}} - {\Large \frac{1}{5}} \right | < {\Large \frac{1}{25}} \right ) <  {\rm P} \left ( \left | {\Large \frac{W}{400}} - {\Large \frac{1}{5}} \right | < {\Large \frac{1}{25}} \right ) \)  

① ㄱ          ② ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

문제에서 주어진 3개의 이항분포를 따르는 확률변수는 시행횟수가 모두 크므로 다음과 같이 정규분포로 근사시킬 수가 있습니다.

그 다음 보기에 나와 있는 확률들을 표준화를 통하여 다음과 같이 구합니다.

ㄱ은 첫 번째 확률과 네 번째 확률을 비교하고 있으므로 참입니다.
ㄴ은 첫 번째와 두 번째를 비교하고 있으므로 거짓입니다.
ㄷ은 두 번째와 세 번째를 비교하고 있으므로 참입니다.