수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 \(\rm A_1(0,\;\sqrt{3}), \; B_1(-1,\;0),\; C_1(1,\;0)\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1, \;B_1,\;C_1\) 에 대하여 선분 \(\rm A_1C_1\) 을 \(4:1\) 로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_2, \;B_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm A_2B_2C_2\) 가 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_2\) 를 정한다. 또, 선분 \(\rm A_2C_2\) 를 \(4:1\)로 외분하는 점과 \(2:1\) 로 내분하는 점을 각각 \(\rm A_3, \;B_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm A_3B_3C_3\) 이 정삼각형이 되도록 점 \(\rm C_3\) 를 정한다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 \(\rm C_{\it n}\) 을 정할 때, 점 \({\rm C}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n\) 의 값을 구하시오. (단, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(x_n <x_{n+1}\) 이다.)

 

 

 

정답 \(4\)