수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(O_1\) 에 외접하는 정사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 의 네 변 \(\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1,\; D_1A_1\) 의 중점을 각각 \(\rm E_1, \; F_1, \; G_1, \; H_1\) 이라 하자. 점 \(\rm B_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm B_1 F_1\) 을 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm B_1 F_1 E_1\) 의 호 \(\rm E_1 F_1\) 과 점 \(\rm C_1\) 을 중심으로 하고 선분 \(\rm C_1F_1\)를 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm C_1F_1G_1\) 의 호 \(\rm G_1F_1\) 과 원 \(O_1\) 의 호 \(\rm E_1 H_1 G_1\) 으로 둘러싸인 도형을 \(R_1\) 이라 하자. \(R_1\) 에 내접하는 원을 \(O_2\) 라 하고 도형 \(R_1\) 의 넓이에서 원 \(O_2\) 의 넓이를 뺀 값을 \(S_1\) 이라 하자.

원 \(O_2\) 에 외접하는 정사각형 \(\rm A_2B_2C_2D_2\) 의 네 변 \(\rm A_2B_2, \; B_2C_2, \; C_2D_2,\; D_2A_2\) 의 중점을 각각 \(\rm E_2, \; F_2, \; G_2, \; H_2\) 이라 하자. 점 \(\rm B_2\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm B_2 F_2\) 을 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm B_2 F_2 E_2\) 의 호 \(\rm E_2 F_2\) 와 점 \(\rm C_2\) 를 중심으로 하고 선분 \(\rm C_2F_2\)를 반지름으로 하는 부채꼴 \(\rm C_2F_2G_2\) 의 호 \(\rm G_2F_2\) 과 원 \(O_2\) 의 호 \(\rm E_2 H_2 G_2\) 으로 둘러싸인 도형을 \(R_2\) 라 하자. \(R_2\) 에 내접하는 원을 \(O_3\) 라 하고 도형 \(R_2\) 의 넓이에서 원 \(O_3\) 의 넓이를 뺀 값을 \(S_2\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 호 \({\rm E}_n {\rm F}_n\), 호 \({\rm G}_n{\rm F}_n\), 호 \({\rm E}_n{\rm H}_n{\rm G}_n\) 으로 둘러싸인 도형을 \(R_n\) 이라 하고 \(R_n\) 에 내접하는 원을 \(O_{n+1}\) 이라 하자. 도형 \(R_n\) 의 넓이에서 원 \(O_{n+1}\) 의 넓이를 뺀 값을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

① \(\dfrac{9-2\pi}{3}\)          ② \(\dfrac{18-4\pi}{5}\)          ③ \(\dfrac{9-2\pi}{2}\)          

④ \(\dfrac{18-4\pi}{3}\)          ⑤ \(9-2\pi\)         

 

 

정답 ②