기하와 벡터_벡터의 내적_내적의 최댓값_난이도 상

좌표공간 위에 방정식 $x^2+(y-3)^2=1 \;\;(z\; 는\; 실수)$ 가 나타내는 도형을 $S$ 라 하자. 도형 $S$ 와 $xy$ 평면이 만나서 생기는 도형을 $C_1$, 도형 $S$ 와 평면 $3y-4z=0$ 이 만나서 생기는 도형을 $C_2$ 라 하자. 두 도형 $C_1, \;C_2$ 의 중심을 각각 $\rm O_1, \; O_2$ 라 하고 도형 $C_1, \; C_2$ 위의 임의의 점을 각각 $\rm P, \;Q$ 라 하자. 두 점 $\rm P, \;Q$ 가 내적 $\overrightarrow{\rm O_1P} \cdot \overrightarrow{\rm O_2Q}=\dfrac{1}{2}$ 을 만족할 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이의 최댓값은 $M$ 이다. 이때, $M^2$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 $10$