기하와 벡터_이차곡선_포물선 반사성질_난이도 중

그림과 같이 점 $\rm F(1, \;0)$ 을 지나는 직선이 포물선 $y^2=4x$ 와 만나는 점을 $\rm A, \;B$ 라고 하고, 두 점 $\rm A, \;B$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm P, \;Q$ 라 하자. $\angle \rm PAF=\dfrac{\pi}{6}$ 일 때, $\overline{\rm PQ}$ 의 길이는?

① $2$          ② $\dfrac{7}{3}$          ③ $\dfrac{9}{4}$          ④ $\dfrac{8}{3}$          ⑤ $3$

정답 ④

삼각형 $\rm APF$ 가 이등변 삼각형이 되는 것은 다 알고 계실거라 믿습니다.

따라서 $\angle \rm APF= \dfrac{\pi}{6}$ 가 됩니다. 결국 $\angle \rm AFP= \dfrac{2}{3} \pi$ 이므로 $\angle \rm AFP=\dfrac{\pi}{3}$ 이 됩니다. 또한 삼각형 $\rm BFQ$ 도 이등변삼각형이므로 $\angle \rm BQF=\dfrac{\pi}{3}$ 이 되죠. 결국 직선 $\rm AP$ 와 직선 $\rm BQ$ 는 $y^2=4x$ 에 접하면서 각각 기울기가 $\dfrac{1}{\sqrt{3}},\; -\sqrt{3}$ 인 접선의 방정식이 됩니다. 기울기 $m$ 이고 $y^2=4px$ 에 접하는 접선의 방정식은 $y=mx+\dfrac{p}{m}$ 이므로 $x$ 절편들을 구해낼 수 있습니다.

하지만 우리는 조금 특이한 접근방법을 보도록 하죠.. ㅋㅋ

풀이가 이해가 안가시면 다음의 내용을 확인하세요

[수능 수학/수능수학] - 이차곡선의 극선의 방정식

[수능 수학/수능수학] - 직교하는 두 접선의 교점의 자취 (포물선)

[수능 수학/수능수학] - 포물선의 반사 성질