수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형 $\rm A_1 B_1 C_1$ 의 세 변 $\rm B_1 C_1 ,\;\; C_1 A_1 ,\;\; A_1 B_1$ 을 $1:2$ 로 내분한 점을 각각 $\rm D_1 ,\;\; E_1 , \;\; F_1$ 이라 하고, 세 선분 $\rm A_1 D_1 ,\;\; B_1 E_1 ,\;\; C_1 F_1$ 의 교점을 차례대로 $\rm A_2 , \;\; B_2 ,\;\; C_2$ 라 하자. 삼각형  $\rm A_2 B_2 C_2$ 의 세 변 $\rm B_2 C_2 ,\;\; C_2 A_2 ,\;\; A_2 B_2$ 을 $1:2$ 로 내분한 점을 각각 $\rm D_2 ,\;\; E_2 , \;\; F_2$ 이라 하고, 세 선분 $\rm A_2 D_2 ,\;\; B_2 E_2 ,\;\; C_2 F_2$ 의 교점을 차례대로 $\rm A_3 , \;\; B_3 ,\;\; C_3$ 라 하자. 이와 같은 방법으로 자연수 $n$ 에 대하여 삼각형 $\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n}$ 의 세 변 $\rm B_{\it n} C_{\it n} ,\;\; C_{\it n} A_{\it n} ,\;\; A_{\it n} B_{\it n}$ 을 $1:2$ 로 내분한 점을 각각 $\rm D_{\it n} ,\;\; E_{\it n} , \;\; F_{\it n}$ 이라 하고, 세 선분 $\rm A_{\it n} D_{\it n} ,\;\; B_{\it n} E_{\it n} ,\;\; C_{\it n} F_{\it n}$ 의 교점을 차례대로 $\rm A_{{\it n}+1} , \;\; B_{{\it n}+1} ,\;\; C_{{\it n}+1}$ 라 하자. 삼각형 $\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{7 \sqrt{3}}{24}$          ② $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$          ③ $\dfrac{3 \sqrt{3}}{8}$         ④ $\dfrac{5 \sqrt{3}}{12}$          ⑤ $\dfrac{11 \sqrt{3}}{24}$          

정답 ①