수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 세 변 \(\rm B_1 C_1 ,\;\; C_1 A_1 ,\;\; A_1 B_1\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_1 ,\;\; E_1 , \;\; F_1\) 이라 하고, 세 선분 \(\rm A_1 D_1 ,\;\; B_1 E_1 ,\;\; C_1 F_1\) 의 교점을 차례대로 \(\rm A_2 , \;\; B_2 ,\;\; C_2\) 라 하자. 삼각형  \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 세 변 \(\rm B_2 C_2 ,\;\; C_2 A_2 ,\;\; A_2 B_2\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_2 ,\;\; E_2 , \;\; F_2\) 이라 하고, 세 선분 \(\rm A_2 D_2 ,\;\; B_2 E_2 ,\;\; C_2 F_2\) 의 교점을 차례대로 \(\rm A_3 , \;\; B_3 ,\;\; C_3\) 라 하자. 이와 같은 방법으로 자연수 \(n\) 에 대하여 삼각형 \(\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n}\) 의 세 변 \(\rm B_{\it n} C_{\it n} ,\;\; C_{\it n} A_{\it n} ,\;\; A_{\it n} B_{\it n}\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_{\it n} ,\;\; E_{\it n} , \;\; F_{\it n}\) 이라 하고, 세 선분 \(\rm A_{\it n} D_{\it n} ,\;\; B_{\it n} E_{\it n} ,\;\; C_{\it n} F_{\it n}\) 의 교점을 차례대로 \(\rm A_{{\it n}+1} , \;\; B_{{\it n}+1} ,\;\; C_{{\it n}+1}\) 라 하자. 삼각형 \(\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n \) 의 값은?

① \(\dfrac{7 \sqrt{3}}{24}\)          ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)          ③ \(\dfrac{3 \sqrt{3}}{8}\)         ④ \(\dfrac{5 \sqrt{3}}{12}\)          ⑤ \(\dfrac{11 \sqrt{3}}{24}\)          

정답 ①