수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

 

그림과 같이 정육각형 $\rm H_1$ 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 $\rm H_1$ 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_1$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $\rm H_2$ 라 하자. 정육각형 $\rm H_2$ 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 $\rm H_2$ 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_2$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $\rm H_3$ 이라 하자. 이와 같은 방법으로 정육각형 $\rm H_{\it n}$ 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 $\rm H_{\it n}$ 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_n$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 ${\rm H}_{n+1}$ 이라 하자. 이때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값을 $S_1$ 을 이용하여 나타낸 것은?

① $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S_1$           ② $\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}S_1$          ③ $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}S_1$          

④ $\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}S_1$          ⑤ $2\sqrt{3}S_1$

 

정답 ①