수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

 

그림과 같이 정육각형 \(\rm H_1\) 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 \(\rm H_1\) 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_1\), 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 \(\rm H_2\) 라 하자. 정육각형 \(\rm H_2\) 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 \(\rm H_2\) 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_2\), 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 \(\rm H_3\) 이라 하자. 이와 같은 방법으로 정육각형 \(\rm H_{\it n}\) 의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 \(\rm H_{\it n}\) 의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_n\), 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 \({\rm H}_{n+1}\) 이라 하자. 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값을 \(S_1\) 을 이용하여 나타낸 것은?

① \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S_1\)           ② \(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}S_1\)          ③ \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}S_1\)          

④ \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}S_1\)          ⑤ \(2\sqrt{3}S_1\)

 

정답 ①