수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

 

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1 B$ 를 지름으로 하는 반원 $\rm D_1$ 이 있다. 호 $\rm A_1 B$ 를 이등분하는 점을 $\rm C_1$, 점 $\rm B$ 를 지나면서 선분 $\rm A_1 C_1$ 과 접하고 중심이 선분 $\rm A_1 B$ 위에 있는 반원을 $\rm D_2$, 반원 $\rm D_2$ 가 선분 $\rm A_1 B$ 와 만나는 점을 $\rm A_2$ 라 하자. 호 $\rm A_2 B$ 를 이등분하는 점을 $\rm C_2$, 점 $\rm B$ 를 지나면서 선분 $\rm A_2 C_2$ 와 접하고 중심이 선분 $\rm A_1 B$ 위에 있는 반원을 $\rm D_3$, 반원 $\rm D_3$ 이 선분 $\rm A_1 B$ 와 만나는 점을 $\rm A_3$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 반원 $\rm D_{\it n}$ 의 호의 길이를 $l_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} l_n$ 의 값은?

① $2\left ( 1+\sqrt{2} \right ) \pi$            ② $2\left ( 2+\sqrt{2} \right )\pi$          ③ $2\left ( 3+\sqrt{2} \right ) \pi$          
④ $2\left ( 2+2\sqrt{2} \right ) \pi$          ⑤ $2\left ( 3+2\sqrt{2} \right )\pi$          

정답 ⑤