수학1_수열의 극한 _도형과 무한등비급수_난이도 상

원에 다음 과정을 실행한다.

\(\rm I\). 원의 지름을 \(1:2\) 로 내분하는 점을 잡는다.
\(\rm II\). 이 원에 내접하면서 \(\rm I\) 의 내분점에서 서로 외접하는 두 개의 원을 그린다. 

 
지름의 길이가 \(6\) 인 원이 있다. 이 원에 위의 과정을 실행하여 그린 \(2\) 개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 \(C_1\) 이라 하자. 그림 \(C_1\) 에서 새로 그려진 \(2\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(4\) 개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 \(C_2\) 라 하자. 그림 \(C_2\) 에서 새로 그려진 \(4\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(8\) 개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 \(C_3\) 이라 하자. 그림 \(C_3\) 에서 새로 그려진 \(8\) 개의 원에 각각 위의 과정을 실행하여 그린 \(16\) 개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 \(C_4\) 라 하자. 이와 같은 방법으로 \(n\) 번째 얻어진 그림 \(C_n\) 에서 색칠된 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n = \dfrac{q}{p} \pi \) (\(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수)이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, 모든 원의 중심은 처음 원의 한 지름 위에 있다.)

 

 

정답 59