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수악중독

수학1_여러 가지 수열_행렬과 점화식_난이도 중 본문

(8차) 수학1 질문과 답변/수열

수학1_여러 가지 수열_행렬과 점화식_난이도 중

수악중독 2012. 2. 24. 20:27

다음은 A=(1102 )A= \left ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) 일 때, AnA^n 을 구하는 과정이다.
 

모든 자연수 nn 에 대하여 An=(anbncndn )A^n = \left ( \begin{matrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) 이라 하자.

행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여 An+1=AAn=AnAA^{n+1} = A \cdot A^n = A^n \cdot A 이므로

( an+1bn+1cn+1dn+1)=(1102)( an bncndn)=( an+cnbn+dn2cn2dn) =(anbncndn)( 1102)=( anan+2bncncn+2dn)\begin{aligned} \left ( \begin{matrix}  a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{matrix} \right ) &= \left ( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix}  a_n  & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix}  a_n +c_n & b_n +d_n \\ 2c_n & 2d_n \end{matrix} \right ) \\[12pt]  &= \left ( \begin{matrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix}  1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix}  a_n & a_n +2b_n \\ c_n & c_n +2d_n \end{matrix} \right ) \end{aligned}  이다. 

따라서 
{an+1=an+cn=anbn+1=bn+dn=an+2bncn+1=2cn=cndn+1=2dn=cn+2dn\left\{ {\begin{array}{ll}{{a_{n + 1}} = {a_n} + {c_n} = {a_n}}\\{{b_{n + 1}} ={b_n} +{d_n} = {a_n} + 2{b_n}}\\{{c_{n + 1}} = 2{c_n} = {c_n}}\\{{d_{n + 1}} = 2{d_n} = {c_n} +2{d_n}}\end{array}} \right. 이므로

bn+1=2bn+  ()  b_{n+1}=2b_n + \;(가)\; 이고, dn+1=  ()d_{n+1}=\;(나) 이다.

An=  ()  \therefore A^n = \;(다)\; 이다. 


위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?


(가) (나) (다)
12\dfrac{1}{2} 2n2^n

(12n102n+1 )\left ( \begin{matrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{matrix} \right )

12 \dfrac{1}{2}  2n+12^{n+1}

(12n+102n1 )  \left ( \begin{matrix} 1 & 2^{n+1} \\ 0 & 2^n -1 \end{matrix} \right ) 

11 2n2^n

(12n102n+1)  \left ( \begin{matrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^{n+1} \end{matrix} \right ) 

11 2n+12^{n+1}

(12n102n )  \left ( \begin{matrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^{n} \end{matrix} \right ) 

11 2n+12^{n+1}

(12n02n1 )  \left ( \begin{matrix} 1 & 2^n \\ 0 & 2^{n}-1 \end{matrix} \right )